在几何学中，三角形的角平分线是一个非常重要的概念。它不仅连接了三角形的一个顶点与对边上的点，还具有许多独特的性质和应用。通过解决一些经典的习题，我们可以更好地理解角平分线的特性以及如何运用它们来解答实际问题。

经典习题一：角平分线定理的应用

已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且BD = 3，DC = 4。求AB:AC的比例。

解析：

根据角平分线定理，角平分线将对边分成两段，这两段的比例等于其他两边的长度比例。即：

\[

\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}

\]

代入已知条件：

\[

\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}

\]

因此，AB:AC = 3:4。

经典习题二：利用角平分线构造等腰三角形

在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，并且AD = BD。证明△ABC为等腰三角形。

解析：

由角平分线定理可知，如果AD为角平分线，则有：

\[

\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}

\]

又因为AD = BD，所以可以推导出BD = DC。这表明D是BC的中点，从而△ABC是等腰三角形（两边相等）。

经典习题三：角平分线与面积的关系

在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，且AD与BC交于点D。若△ABD的面积为10，△ADC的面积为15，求整个△ABC的面积。

解析：

角平分线将三角形分为两个小三角形，其面积比等于对应两边的长度比。即：

\[

\frac{\text{Area of } \triangle ABD}{\text{Area of } \triangle ADC} = \frac{AB}{AC}

\]

已知面积比为10:15 = 2:3，因此AB:AC = 2:3。整个△ABC的面积为两个小三角形面积之和：

\[

\text{Area of } \triangle ABC = 10 + 15 = 25

\]

以上三个习题展示了角平分线在几何中的多种应用场景。通过深入理解和练习这些题目，可以提升我们对几何问题的分析能力和解题技巧。希望这些习题能够帮助你巩固基础知识并激发进一步探索的兴趣！