在数学中，向量是一种重要的概念，它不仅具有大小，还具备方向。为了更方便地描述和处理向量，我们通常会采用坐标表示法。通过将向量放置在一个坐标系中，我们可以用一组有序的数值来表示该向量，从而简化复杂的几何问题。

首先，让我们明确什么是向量的坐标表示。假设我们有一个二维平面，其中存在一个固定的原点O。如果我们要表示一个向量v，可以通过从原点出发画一条有向线段，其终点为P(x, y)。这里的x和y分别代表向量在水平轴（x轴）和竖直轴（y轴）上的分量。因此，向量v可以被写成(v₁, v₂)，其中v₁ = x，v₂ = y。

接下来，我们探讨向量的基本运算——加法、减法以及数乘。当两个向量相加时，只需将它们对应的分量相加即可得到结果。例如，给定两个向量a(a₁, a₂)与b(b₁, b₂)，它们的和c = a + b可计算为c(c₁, c₂)，其中c₁ = a₁ + b₁且c₂ = a₂ + b₂。类似地，向量之间的减法也是对应分量相减。对于数乘运算，即将一个标量k与向量v相乘，则结果向量kv的分量均为原向量分量乘以该标量，即kv(kv₁, kv₂)。

此外，还有点积（内积）的概念。点积是两个向量之间的一种重要运算，用于衡量它们之间的相似程度或夹角关系。若设u(u₁, u₂)和v(v₁, v₂)为两个向量，则它们的点积定义为u·v = u₁v₁ + u₂v₂。根据点积的结果，我们可以判断两向量是否垂直：当且仅当u·v = 0时，u与v互相垂直。

总之，向量的坐标表示极大地便利了我们在实际应用中的操作。无论是物理中的力场分析还是计算机图形学里的变换矩阵构建，向量都扮演着不可或缺的角色。掌握好向量的坐标表示及其运算技巧，有助于解决更多复杂的问题，并为进一步学习高等数学奠定坚实的基础。