在数学中，球极投影（Stereographic Projection）是一种将球面点映射到平面上的几何变换方法。它在复分析、微分几何和拓扑学中有着广泛的应用。一个常见的问题是：球极投影是否将球面上的圆映射为平面上的圆？ 本文将从几何角度出发，逐步推导并证明这一结论。
一、球极投影的基本定义
设我们有一个单位球面 $ S^2 \subset \mathbb{R}^3 $，其方程为：
$$
x^2 + y^2 + z^2 = 1
$$
球极投影通常是从球面的北极点 $ N = (0, 0, 1) $ 出发，将球面上的其他点 $ P = (x, y, z) $ 映射到平面 $ z = 0 $ 上的一点 $ Q = (X, Y) $。具体来说，连接点 $ N $ 和 $ P $ 的直线与平面 $ z = 0 $ 相交于一点 $ Q $，这个点即为 $ P $ 在球极投影下的像。
数学上，球极投影可以表示为：
$$
(X, Y) = \left( \frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z} \right)
$$
反过来，若已知平面上的点 $ (X, Y) $，则对应的球面上的点为：
$$
(x, y, z) = \left( \frac{2X}{X^2 + Y^2 + 1}, \frac{2Y}{X^2 + Y^2 + 1}, \frac{X^2 + Y^2 - 1}{X^2 + Y^2 + 1} \right)
$$
二、球面上的圆是什么？
在球面上，一个“圆”可以理解为球面与某个平面的交线。换句话说，如果存在一个平面 $ \Pi $，使得 $ \Pi \cap S^2 $ 是一个非退化的圆，则该交线称为球面上的一个圆。
设球面与平面 $ ax + by + cz = d $ 的交线为一个圆。那么，我们的问题转化为：将这个圆通过球极投影映射到平面上后，是否仍然是一个圆？
三、球极投影将圆映射为圆的证明
设球面上的圆是球面与平面 $ \Pi: ax + by + cz = d $ 的交线。我们希望证明：通过球极投影将其映射到平面 $ z = 0 $ 后，得到的图像仍是一个圆。
步骤1：参数化球面上的圆
我们可以用参数化的方式描述球面上的圆。例如，令球面上的点满足：
$$
x = \sin\theta \cos\phi, \quad y = \sin\theta \sin\phi, \quad z = \cos\theta
$$
其中 $ \theta \in [0, \pi] $，$ \phi \in [0, 2\pi) $。这是球面的标准参数化方式。
但更一般地，我们可以考虑球面与任意平面的交线，这通常是一个圆。因此，我们可以通过代数方法来处理这个问题。
步骤2：将球面圆投影到平面上
根据球极投影的公式，球面上的点 $ (x, y, z) $ 被映射为：
$$
X = \frac{x}{1 - z}, \quad Y = \frac{y}{1 - z}
$$
我们希望找出这些点 $ (X, Y) $ 满足的条件。也就是说，给定球面上的圆的方程，我们要将其代入上述公式，看看是否能化简为一个圆的方程。
设球面与平面 $ ax + by + cz = d $ 的交线为一个圆。将球面的参数表达式代入该平面方程，可以得到关于 $ \theta $ 和 $ \phi $ 的关系式。然后将其代入球极投影公式，得到 $ X $ 和 $ Y $ 的表达式。
不过，这种直接代数推导较为繁琐。我们可以采用另一种思路：利用球极投影的保角性（conformality）和对称性。
四、保角性与圆的性质
球极投影具有保角性，即它保持角度不变。这意味着，球面上的曲线在投影后仍然保持其局部形状的相似性。
此外，球极投影还具有将圆映射为圆或直线的性质。具体来说：
- 如果球面上的圆不经过北极点，则其投影是一个圆。
- 如果球面上的圆经过北极点，则其投影是一条直线（因为北极点被映射到无穷远点）。
因此，我们只需证明：球极投影将不经过北极点的圆映射为一个圆。
五、代数验证（简化版）
考虑球面上的圆由方程 $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ 和某个平面方程 $ ax + by + cz = d $ 共同决定。
将球极投影的逆变换代入平面方程，得到：
$$
a \cdot \frac{2X}{X^2 + Y^2 + 1} + b \cdot \frac{2Y}{X^2 + Y^2 + 1} + c \cdot \frac{X^2 + Y^2 - 1}{X^2 + Y^2 + 1} = d
$$
两边乘以 $ X^2 + Y^2 + 1 $ 得：
$$
2aX + 2bY + c(X^2 + Y^2 - 1) = d(X^2 + Y^2 + 1)
$$
整理得：
$$
(c - d)(X^2 + Y^2) + 2aX + 2bY - c - d = 0
$$
这是一个关于 $ X $ 和 $ Y $ 的二次方程，形式为：
$$
A(X^2 + Y^2) + B X + C Y + D = 0
$$
这正是一个圆的方程（当 $ A \neq 0 $ 时）。因此，球极投影确实将球面上的圆映射为平面上的圆。
六、结论
综上所述，球极投影将球面上的圆（不经过北极点）映射为平面上的一个圆。这是由于球极投影的保角性和其代数结构所决定的。因此，我们可以得出如下结论：
> 球极投影将球面上的圆映射为平面上的圆。
这一结论在复分析、几何变换和计算机图形学中具有重要的应用价值。
