在学习《线性代数》这门课程的过程中，习题练习是巩固知识、提升解题能力的重要环节。为了帮助同学们更好地理解和掌握相关概念与方法，以下提供部分典型习题的参考解答，旨在为学习者提供清晰的思路和解题步骤。
一、矩阵运算
题目： 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，$ B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} $，求 $ A + B $ 和 $ AB $。
解答：
- 加法：
$$
A + B = \begin{bmatrix} 1 + (-1) & 2 + 0 \\ 3 + 2 & 4 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 9 \end{bmatrix}
$$
- 乘法：
$$
AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 5 \\ 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 10 \\ 5 & 20 \end{bmatrix}
$$
二、行列式计算
题目： 计算矩阵 $ C = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 的行列式。
解答：
行列式的计算公式为：
$$
\det(C) = ad - bc
$$
代入数值得：
$$
\det(C) = (2)(4) - (-1)(3) = 8 + 3 = 11
$$
三、向量空间与线性相关性
题目： 判断向量组 $ \vec{v}_1 = (1, 2, 3) $，$ \vec{v}_2 = (4, 5, 6) $，$ \vec{v}_3 = (7, 8, 9) $ 是否线性相关。
解答：
将三个向量组成矩阵并计算其行列式：
$$
M = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}
$$
计算行列式：
$$
\det(M) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 4(2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) + 7(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)
= 1(45 - 48) - 4(18 - 24) + 7(12 - 15)
= -3 + 24 - 21 = 0
$$
由于行列式为零，说明该向量组线性相关。
四、特征值与特征向量
题目： 求矩阵 $ D = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值与对应的特征向量。
解答：
特征方程为：
$$
\det(D - \lambda I) = 0
\Rightarrow \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0
\Rightarrow (2 - \lambda)^2 - 1 = 0
\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
\Rightarrow (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0
$$
所以，特征值为 $ \lambda_1 = 1 $，$ \lambda_2 = 3 $。
- 当 $ \lambda = 1 $ 时，解方程 $ (D - I)\vec{x} = 0 $：
$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \vec{x} = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow \text{特征向量为 } k(1, -1)
$$
- 当 $ \lambda = 3 $ 时，解方程 $ (D - 3I)\vec{x} = 0 $：
$$
\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \vec{x} = 0 \Rightarrow -x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow \text{特征向量为 } k(1, 1)
$$
结语
通过上述例题的解析，可以更深入地理解《线性代数》中的一些核心概念与方法。建议在学习过程中多做练习、勤于思考，逐步建立系统的知识体系。如需更多习题解答或进一步讲解，请继续关注后续内容。
