【《算法导论》习题答案】在学习《算法导论》（Introduction to Algorithms）这本经典教材的过程中，许多学生和自学者都会遇到一些较为复杂的习题。为了帮助大家更好地理解和掌握书中所介绍的算法思想与设计方法，本文将提供一份针对部分章节的习题解答思路与参考答案。

需要注意的是，由于该书内容广泛且涵盖多个重要算法领域，如排序、查找、图算法、动态规划、贪心算法等，因此本篇内容仅作为辅助学习资料，建议结合教材内容进行深入思考与实践。

以下是一些典型问题的解答思路：

第2章：算法基础

1. 2.1-3

问题描述：证明对所有整数 n ≥ 1，有 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

解答思路：使用数学归纳法。首先验证 n=1 的情况成立；然后假设对于某个 k ≥ 1 成立，即 1+2+...+k = k(k+1)/2，再证明当 n=k+1 时，等式也成立。

2. 2.2-2

问题描述：分析插入排序的时间复杂度。

解答思路：插入排序在最坏情况下（数组完全逆序）需要 O(n²) 次操作，平均情况下也是 O(n²)，但在最好情况下（数组已排序）只需要 O(n) 时间。

第3章：函数的增长

1. 3.1-1

问题描述：比较两个函数 f(n) 和 g(n) 的渐近关系。

解答思路：通过计算极限 lim_{n→∞} f(n)/g(n)，判断其是否为常数、0 或无穷大，从而确定 f(n) 是 O(g(n))、Ω(g(n)) 还是 Θ(g(n))。

2. 3.2-5

问题描述：证明 2^{n+1} = O(2^n)。

解答思路：利用定义，找到合适的常数 c 和 n₀，使得对于所有 n ≥ n₀，都有 2^{n+1} ≤ c·2^n。显然，c=2 即可满足条件。

第4章：分治策略

1. 4.1-1

问题描述：用递归树法求解 T(n) = T(n/2) + T(n/2) + n。

解答思路：画出递归树，每一层的总代价为 n，总共有 log n 层，因此时间复杂度为 O(n log n)。

2. 4.3-2

问题描述：使用主定理分析 T(n) = 2T(n/2) + n。

解答思路：根据主定理，a=2, b=2, f(n)=n。因为 f(n) = n = n^{log_b a} = n^{1}，所以属于第二种情况，T(n) = Θ(n log n)。

第5章：概率分析与随机算法

1. 5.2-1

问题描述：计算期望值 E[X]，其中 X 是一个离散随机变量。

解答思路：根据定义，E[X] = Σ x_i · P(X=x_i)，逐项相乘后求和即可。

2. 5.3-2

问题描述：分析“随机选择”算法的期望运行时间。

解答思路：通过分析每次选择的期望步骤数，结合递归关系，得出整体的期望时间复杂度。

以上只是《算法导论》中部分章节的习题解答示例。在实际学习过程中，建议不要直接依赖答案，而是先尝试自己推导，再对照答案进行验证和总结。这样不仅能加深对算法的理解，还能提升自己的逻辑思维与问题解决能力。

如果你正在学习这门课程，不妨将这些题目当作练习工具，逐步构建自己的算法知识体系。同时，也可以借助在线资源、论坛讨论或同学交流，共同进步。