【三角函数公式大全】在数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握好三角函数的相关公式，不仅有助于理解其基本性质，还能在解题时提高效率。本文将系统整理常见的三角函数公式，帮助读者更好地理解和应用。
一、基本定义
三角函数是基于直角三角形边角关系的函数，主要包括以下六种：
- 正弦（sin）：对边与斜边的比值
$$
\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}
$$
- 余弦（cos）：邻边与斜边的比值
$$
\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}
$$
- 正切（tan）：对边与邻边的比值
$$
\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}
$$
- 余切（cot）：邻边与对边的比值
$$
\cot\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\tan\theta}
$$
- 正割（sec）：斜边与邻边的比值
$$
\sec\theta = \frac{\text{斜边}}{\text{邻边}} = \frac{1}{\cos\theta}
$$
- 余割（csc）：斜边与对边的比值
$$
\csc\theta = \frac{\text{斜边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\sin\theta}
$$
二、常用角度的三角函数值
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|-----------|------|-------|-------|-------|-------|
| $\sin\theta$ | 0| $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| $\cos\theta$ | 1| $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |
| $\tan\theta$ | 0| $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | 无意义 |
三、三角恒等式
1. 基本恒等式：
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
$$
$$
1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
$$
$$
1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta
$$
2. 诱导公式（用于角度转换）：
- $\sin(-\theta) = -\sin\theta$
- $\cos(-\theta) = \cos\theta$
- $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$
- $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$
- $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$
- $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$
3. 和差角公式：
- $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
- $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
- $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$
4. 倍角公式：
- $\sin 2A = 2\sin A \cos A$
- $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$
- $\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$
5. 半角公式：
- $\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$
- $\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$
- $\tan \frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$
四、反三角函数简要介绍
反三角函数是三角函数的逆函数，用于求已知三角函数值对应的角，常见包括：
- $\arcsin x$：返回满足 $\sin\theta = x$ 的角度 $\theta$，范围为 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
- $\arccos x$：返回满足 $\cos\theta = x$ 的角度 $\theta$，范围为 $[0, \pi]$
- $\arctan x$：返回满足 $\tan\theta = x$ 的角度 $\theta$，范围为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
五、三角函数图像与性质
- 正弦函数 $y = \sin x$ 是周期为 $2\pi$ 的奇函数，图像呈波浪状。
- 余弦函数 $y = \cos x$ 是周期为 $2\pi$ 的偶函数，图像与正弦类似但相位不同。
- 正切函数 $y = \tan x$ 是周期为 $\pi$ 的奇函数，图像有垂直渐近线。
六、实际应用举例
1. 物理中：利用三角函数计算力的分解、振动频率、波动传播等。
2. 工程中：用于建筑结构设计、机械运动分析等。
3. 计算机图形学：用于旋转、缩放、投影等操作。
结语
三角函数不仅是数学中的基础内容，更是连接理论与实践的重要桥梁。通过掌握这些公式和性质，可以更高效地解决各类实际问题。希望本文能够帮助大家更好地理解并运用三角函数的相关知识。
