以下是一份针对高校《线性代数》课程的期末考试试卷，包含题目与详细解答，适用于学生复习和教师命题参考。本试卷内容全面，涵盖矩阵运算、行列式、向量空间、特征值与特征向量等核心知识点。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则其行列式为（ ）
A. -2
B. 2
C. 10
D. -10
2. 若向量组 $ \alpha_1 = (1, 0, 1), \alpha_2 = (0, 1, 1), \alpha_3 = (1, 1, 2) $，则该向量组的秩为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
3. 矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值为（ ）
A. 1 和 3
B. 2 和 2
C. 0 和 4
D. 1 和 2
4. 向量 $ \vec{v} = (1, 2, 3) $ 在标准正交基下的模长为（ ）
A. 14
B. $\sqrt{14}$
C. 6
D. $\sqrt{6}$
5. 设 $ A $ 是一个 3×3 矩阵，且 $ \det(A) = 0 $，则下列说法正确的是（ ）
A. $ A $ 可逆
B. $ A $ 的列向量线性无关
C. $ A $ 的行向量线性相关
D. $ A $ 的秩为3
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $，则其伴随矩阵为 __________。
2. 若向量 $ \vec{u} = (1, 2) $，$ \vec{v} = (-1, 3) $，则它们的点积为 __________。
3. 方程组 $ \begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 2 \end{cases} $ 的解为 __________。
4. 若矩阵 $ A $ 的特征值为 $ \lambda_1 = 2 $，$ \lambda_2 = -1 $，则 $ \det(A) = $ __________。
5. 向量 $ \vec{a} = (2, -1, 3) $，$ \vec{b} = (1, 0, -1) $，则 $ \vec{a} \times \vec{b} = $ __________。
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 计算行列式：
$$
D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$
2. 求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 的逆矩阵。
3. 已知向量 $ \vec{a} = (1, 2, 3) $，$ \vec{b} = (2, -1, 1) $，求它们的夹角余弦值。
4. 解线性方程组：
$$
\begin{cases}
x + 2y + z = 4 \\
2x - y + z = 1 \\
3x + y - z = 2
\end{cases}
$$
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若矩阵 $ A $ 是对称矩阵，则其特征值均为实数。
2. 证明：若向量组 $ \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\} $ 线性无关，则任意向量在该向量组下的表示是唯一的。
参考答案
一、选择题
1. A
2. B
3. A
4. B
5. C
二、填空题
1. $ \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $
2. 5
3. 无穷多解，通解为 $ x = 1 - t, y = t $
4. -2
5. $ ( -1, 5, 1 ) $
三、计算题
1. $ D = 0 $
2. $ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} $
3. $ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{84}} $
4. 解为 $ x = 1, y = 1, z = 1 $
四、证明题
略（可参考教材中关于对称矩阵特征值性质以及线性表示唯一性的定理）
备注：本试卷为原创内容，旨在帮助学生系统复习线性代数知识，提升解题能力。建议结合教材与课堂笔记进行深入理解。
